命題６
２つの量が２つの量の同倍数で、それらから引かれたいくつかの量が同倍数ならば、余りは同じ量と等しいかまたはそれらの同倍数である。
２つの量ABとCDを２つの量EとFの同倍数とし、それらから引かれたAGとCHを同じ２つのEとFの同倍数とする。
余りGBとHDがEとFに等しいか、それらの同倍数であることをいう。
最初に、GBをEに等しいとする。
HDもまたFに等しいことをいう。
CKをFと等しくつくる。
AGはEの同じ倍数でありCHはFの同じ倍数であるから、GBがEと等しくKCがFと等しいとき、それゆえにABはBの同じ倍数でありKHはFの同じ倍数である。propositionⅤ．２
しかし、仮定によって、ABはEの同じ倍数でありCDはFの同じ倍数であり、それゆえにKHはFの同じ倍数でありCDはFの同じ倍数である。
それぞれの量KHとCDはFの同じ倍数であるから、それゆえにKHはCDと等しい。
それぞれからCHを引く。余りKCは余りHDと等しい。
しかしFはKCと等しく、それゆえにHDもまたFと等しい。
それゆえに、GBがEと等しいならば、HDもまたFと等しい。
同じように、例えGBがEの倍数だとしても、HDもまたFの同じ倍数であることさえ証明できる。
それゆえに、２つの量が２つの量の同倍数で、それらから引かれたいくつかの量が同倍数ならば、余りは同じ量と等しいかまたはそれらの同倍数である。
証明終了